國中數學/國中數學八年級/2-3 畢氏定理

 2-2 根式的运算 國中數學八年級
2-3 畢氏定理
3-1 利用提公因式作因式分解 

本單元將介紹畢氏定理。關於其他直角三角形邊長關係,請參見第五冊 1-5 三角比

直角三角形的兩股及斜邊

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圖一。此為一直角三角形。
 
圖二。由三個正方形組成。每個方格邊長皆為1cm。

定義

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有一個 為直角三角形,如圖一。∠ 為該三角形之直角,其鄰邊  被稱為直角三角形的「股」,對邊 被稱為直角三角形的「斜邊」。

股及斜邊的關係

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請看圖二,每個方格邊長皆為1公分。該圖有3個正方形,分別為   ,而其中還有一個以   三線段組成的直角 
仔細觀察會發現:正方形  面積的和與 相同。

畢氏定理

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由來

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由上面的觀察可得出:
正方形 面積+正方形 面積=正方形 面積
 
而若將直角 拉出,並令兩股分別為 、斜邊為 ,則:
 
此即為畢氏定理,也可以稱為畢達哥拉斯定理或勾股定理等,為古希臘數學家畢達哥拉斯所發現。

其他形式

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 經過移項後也可以寫成  
經過開根號後還可以寫成   

畢氏數

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畢氏數也可以稱為勾股數或商高數等,是指符合畢氏定理的 三數。常見 互質的畢氏數有:
 

平面座標上兩點距離

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圖三。平面座標上求兩點距離。

今有三個點 在直角座標平面上,如圖三。若要求 點和 點的距離,即為求 ,可以用這個方法:
1.做兩直線分別通過 點和 點並分別平行兩軸交於P點 2.做 
此時形成一個直角 ,即可使用畢氏定理
 
 
 
 點的 座標必為 其中一點的 座標, 點的 座標必為 中另一點的 座標,因此公式可以改寫成
 
此即為兩點距離公式。
 點座標帶入可得 
同理,若要求 ,則將 點座標帶入得 

習題

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習題圖一
 
習題圖二

1.如習題圖一,已知   ,則 
(A)   (B)   (C)   (D)  
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答案:(B)
解析:
 ,使四邊形 分成兩個直角三角形  ,如解析圖一。
根據畢氏定理,
 
故選(B)。

 
解析圖一

2.承上題,四邊形   的面積為多少平方單位?
(A)   (B)   (C)   (D)  
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答案:(B)
解析:
四邊形ABCD面積
 
故選(B)。

 
解析圖一

3.如圖,小名拿著3.5m的梯子,在離牆2.8m處斜放於牆邊,唯恐梯子下滑,他又將梯腳往牆的方向推近0.7m,則梯頂上移了多少m?
(A) 0.1 (B) 0.5 (C) 0.7 (D) 2.1 m
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答案:(C)
解析:
 
故選(C)。

應用

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1.有一個周長為36公分的等腰三角形,其腰長為11公分,求此三角形的面積。

三角形的面積=底×高÷2

底邊的長度,用11減掉36兩次:

36-11-11=14公分

底邊上的高將底邊分成相等的兩段,一段為7公分,因其腰長為11公分,依畢氏定理,得:

高= 公分

面積= 平方公分。