高中数学/不等式与数列/等差数列

阅读指南

编辑

 

希望快速了解或快速回顾高中数学的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。

基础知识

编辑

知识引入

编辑
 
卡尔·高斯(Johann Karl Friedrich Gauß,1777年-1855年)是十八世纪末、十九世纪初最重要的数学家。他在格丁根大学任职期间,创立了“格丁根学派”,使格丁根大学成为当时的世界数学研究中心。他的学生波恩哈德·黎曼也是对现代数学的发展影响深远的名家。

200多年前,高斯的小学数学老师在课堂上提出了下面的问题: 

据说,当其他同学忙于把100个数逐项相加时,小高斯却通过巧妙的配对求和方法,算出了正确答案:  

定义与基本概念

编辑

等差数列又称算术数列(arithmetic sequence),是相邻两项之差始终为常数的数列。等差数列相邻项的常数差值叫做公差。[1]

如果已知等差数列 的首项 和公差 ,通过依次倒推的方法,可以得到等差数列的通项公式:  

  为首项、 为公差的等差数列的通项公式为[1] 

待定系数法求等差数列的通项公式与未知量

编辑

当已知数列是等差数列,但只知道一部分量或关系式时,可以使用待定系数法设出等差数列通项的一般形式表达式,然后带入已知条件中,通过化简和比较系统确定通项公式中的未知系数。

  相关例题1:若等差数列 的通项公式是 ,求这个数列的公差。

  相关例题2:在数列 中, ,求 的值。

  相关例题3:在等差数列 中,设d为公差,求解下列问题:
(1) 已知 ,求 
(2) 已知 ,求n。
(3) 已知 ,求d。
(4) 已知 ,求 

如果已知条件中会出现特定数列的多个相邻项,此时为了简化计算,可以采取一些小技巧。例如当给出等差数列 中的奇数个相邻项时,可以设夹在最中间的那一项为a,再以d为公差分别向2边分别设项,即将已知的几项设为 的形式;类似地,当给出等差数列 中的偶数个相邻项时,可以设夹在最中间的两项为 ,再以2d为公差向两边分别设项,即将已知的几项设为 的形式。

  相关例题4:已知成等差数列的4个数之和为26,第2个数与第3个数之积为40,求这4个数。

  相关例题5:已知5个数成等差数列,它们的和为5,平方和为165,求这5个数。

  相关例题6:《九章算术》上有一道题,说已知甲、乙、丙、丁、戊这5个人分5钱(“钱”是一种古代货币计量单位),甲、乙所得之和与丙、丁、戊所得之和相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,求这5个人各得了多少钱?

  相关例题7:在三角形ABC中,角A、B、C的对边长度分别为a、b、c。如果a、b、c成等差数列, ,三角形ABC的面积为 ,求边b的值。

倒序相加法与等差数列前n项和公式

编辑

 
再逆序写出各项: 
将以上2式逐项相加得: 
又因为 
所以可得(一共n组求和): 

  为首项、 为公差的等差数列的前n项和公式为[1] 

即等差数列的前n项和等于首末项的和与项数乘积的一半[1]。此公式常以汉语口诀记为“首相加末项,乘以项数,再除以二”。

上述的求和方法叫做倒序相加法,因高斯求和的故事而闻名。

常用结论与常见模型

编辑

等差数列通项公式的变形

编辑

等差数列的常用性质

编辑

将一个等差数列的每一项都乘以同1个常数后,得到的仍然是一个等差数列。

推论:设 是一次函数, 是等差数列,则 也是一个等差数列。即等差数列经过一次函数变换后的象仍然是等差数列。

  相关例题1:设数列  都是等差数列,若 ,求 的值。

  相关例题2:在等差数列 中, ,求 的值。

  相关例题3:已知等差数列 前9项的和为27, ,则  (    )。
A.100;B.99;C.98;D.97
(出自2016年中国大陆新课标高考全国卷I第3题。)

  相关例题4:已知等差数列 满足 ,求 的值。

  相关例题5:已知数列 是等差数列,且 ,求 的值。

  相关例题6:在数列 中, ,且对于任意大于1的正整数n,点 都在直线 上,求 的表达式。

  相关例题7:已知数列 是等差数列,且 ,求 的值。

  相关例题8:首项为 ,公差d为正整数的等差数列 满足 ,满足 的n的最小值是15。试求公差d和首项 的值。

  相关例题9:已知 是首项为a,公差为1的等差数列。数列 满足 。若对于任意的 ,都有 成立,求实数a的取值范围。

  相关例题10:已知函数f(x)是定义在 上的单调递增函数且为奇函数,数列 是等差数列, ,则 的值(    )。
A.恒为正数
B.恒为负值
C.0
D.可正可负

  相关例题11:设等差数列 的公差为d,若数列 为递减数列,则(    )。
A. 
B. 
C. 
D. 

  相关例题12:设等差数列 的公差为d。若等差数列 为递减数列,则(    )。
A. 
B. 
C. 
D. 
(出自2014年中国大陆高考辽宁卷第8题。)

  相关例题13:设 是等差数列,下列结论中正确的是(    )。
A.若 ,则 
B.若 ,则 
C.若 ,则 
D.若 ,则 
(出自2015年中国大陆高考北京卷第6题。)

等差数列前n项和公式的变形

编辑

等差数列前n项和的常用性质

编辑

等差中项

编辑

如果3个数a、b、c按顺序构成等差数列,那么b叫做a与c的等差中项,且满足 。反过来,如果有 ,也能判断a、b、c一定构成等差数列。

  相关例题1:在1和100之间插入k个数,使这k+2个数构成等差数列,求它们的公差。

  相关例题2:在等差数列 中,  。若在此数列中每2个相邻项之间都新插入一个数,使之成为新的等差数列,求此新数列的公差。

  相关例题3:在等差数列 中, ,求 的值。

  相关例题4:在等差数列 中, ,求 的值。

  相关例题5:在等差数列 中,  ,求 的值。

  相关例题6:若   成等差数列,求x的值。

  相关例题7:已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,求m和n的等差中项。

等差数列常用判定方法

编辑

  相关例题8:已知 成等差数列,求证: 也成等差数列。

参考解答1:由 成等差数列可知 ,解得 
要证明 也成等差数列,只需要证明 ,即:
 
上式显然成立。证明完毕。

参考解答2:已知 成等差数列,
 成等差数列(它们同时扩大 倍后也成等差数列(公差也变为原来的 倍),
 成等差数列,
 成等差数列。证明完毕。

点评:参考解答2是根据已知式和待求证式的形式特点巧妙变形,并利用了等差数列的2条不同性质,才得到了更便捷的解法。

  相关例题2:已知 成等差数列,并且 均为正数,求证 也成等差数列。

证明:已知 成等差数列,所以 
对等式两边都乘以abc,得 
 
这说明 
又因为 均为正数,所以 
所以 成等差数列。

  相关例题3:已知等差数列 的公差大于0,求满足 
(1) 求数列 的通项公式。
(2) 若数列 满足 。判断是否存在非零实数c,使得数列 为等差数列?若存在,求出c的值;若不存在,请说明理由。

需要简单转化和整体代换的递推关系

编辑

  相关例题1: 已知数列 满足 ,且 ,求 的表达式。

  相关例题2: 已知数列 满足 ,求 的值。

  相关例题3: 已知数列 满足 ,求 的值。

  相关例题4: 已知正项数列 满足 ,求 的值。

  相关例题5:在数列 中, 
(1) 证明数列 是等差数列。
(2) 求数列 的通项公式。
(3) 若 对任意的 恒成立,求实数 的取值范围。

简单的同余性质

编辑

  相关例题1:已知数列 是首项为3,公差为 的等差数列。若2019是该数列的一项,则公差不可能是(    )。
A.2;B.3;C.4;D.5

  相关例题2:已知在无穷等差数列 中,首项 ,公差 。依次取出其中序号能被4除余3的项,组成数列 
(1) 求  的值。
(2) 求 的通项公式。
(3)  中的第503项是 中的第几项?

补充习题

编辑

   

  • 若数列 是等差数列,则称数列 是“等方差数列”。下列判断中正确的有(    )。

A.常数列是等方差数列
B.若数列 是等方差数列,则数列 是等差数列
C.若数列 是等方差数列,则数列 是等方差数列
D.若数列 是等方差数列,则数列 是等方差数列

  • 设等差数列 满足 ,且 有最小值,求这个最小值。
  • 已知数列 满足 ,求 的值。
  • 已知正项数列 满足 ,求 的值。
  • 已知正项数列 满足 ,求 的值。
  • 观察给出的规律,求下列数列的第100项的值:
1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, ...

参见

编辑

参考资料

编辑
  1. 1.0 1.1 1.2 1.3 人民教育出版社中学数学室. 第3章“数列”第3.2节“等差数列”和第3.3节“等差数列的前n项和”. 数学. 全日制普通高级中学教科书 (必修). 第1册 (上) 1. 中国北京沙滩后街55号: 人民教育出版社. 2003: 110–119. ISBN 7-107-16755-3 (中文(中国大陆)). 

外部链接

编辑
 
维基百科中的相关条目: