三角形的五心

定义

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三角形五心的定义

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三角形的内心、外心、重心及垂心称为三角形的四心,定义如下:

名称 定义 图示 备注
内心 三个内角的角平分线的交点   该点为三角形内切圆的圆心。
外心 三条边的垂直平分线的交点   该点为三角形外接圆的圆心。
重心 三条中线的交点   被交点划分的线段比例为1:2(靠近角的一段较长)。
垂心 三条高线的交点  
 

垂心(蓝)、重心(黄)和外心(绿)能连成一线,且成比例2:1,称为尤拉线。

连同以下的旁心,合称为三角形的五心:

名称 定义 图示 备注
旁心 其中一内角和另外两外角的角平分线的交点   有三个,为三角形某一边上的旁切圆的圆心。

正弦(sine)、馀弦(Cosine)定义

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∠A之度数为α
sinα=对边长/斜边长
cosα=邻边长/斜边长

直角三角形中∠A之度数为α,定义:

sinα=对边长/斜边长
cosα=邻边长/斜边长

基本性质:

  1. sinα=cos(90°-α)
    令∠B度数为β,β=90°-α,则sinα=a/c=cosβ=cos(90°-α)
  2. cosα=sin(90°-α)
    令∠B度数为β,β=90°-α,则cosα=b/c=sinβ=sin(90°-α)
  3. sin2α+cos2α=1
三角函数的平方写在角度前,不写在角度后,以和“α2取sin”区分。
 

两大公式

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 为外接圆半径,则  

 
 
 
 

三角形面积公式

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(一)已知两边及其夹角

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三角形面积为二分之一两边乘以夹角正弦。

△= 

△= 

 

△= 

(三)内切圆半径

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 ,r为内切圆半径

△面积  

(四)外接圆半径

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R为外接圆半径

△= 

证明

(五)三中线将△切为六个等大的小△

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(六)三高

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△= ½×a×ha= ½×b×hb= ½×c×hc

(七)以三点座标求面积

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△= 

如 (x1,y1) 为 (0,0) 即原点,则

△= 

再旋转使 (x3,y3) 位于 X 轴,为 (x3,0)。此时 x3 为底, y2 为高:

△= 

从一角出发,其两边的向量为   

△=