国中数学/国中数学七年级/8-1 垂直与线对称

 7-3 一元一次不等式的应用问题 国中数学七年级
8-1 垂直与线对称
8-2 三视图 

本单元为国中阶段第一次的几何课程,我们将从最简单的几何图形开始介绍。

几何图形

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点(point)是最基本的几何图形,一个点只代表位置,它不具有大小长度

点的命名

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通常我们会使用大写英文字母     等标示点,并称呼为“什么点”或“点什么”。
Example:用大写字母 标示的点我们称为 点或点 。(如下图所示)

任意两点就可以决定唯一的一条直线。(这是欧几里得几何公理之一,有兴趣的同学可以点入连结参看。)

  1. 直线
    • 两端可以无限延长的线我们称作直线。
    • 直线没有长度和宽度,也没有方向性。
    • 直线的命名:除非要特别说明这条直线过两点  我们记录成 之外,其余大部分都是在直线旁边标示大写英文字母   等符号,若需要表示更多直线就会在大写英文字母 左下方写上小小的数字(称为下标),形如   ……等等。
    •  在直线 上代表直线 会通过 
    •   为任意两点,则  这两个直线的表达方式代表相同的直线
  2. 线段
    • 两端都不可以延伸的线我们称作线段。
    • 线段具有长度,但没有宽度与方向性。
    • 线段的命名:通过两点  的线段我们可以记录成  ,其中 读作“线段 ”或“ 线段”。
    • 因为线段具有长度,故有时 会表示线段的长度。如 的长度为 厘米,我们可以写作 厘米。
    • 线段可以比大小:
      1.   长,代表将 点与 点重合之后, 点会介于  两点之间,此时我们可以写作 
      2.   短,代表将 点与 点重合之后, 点会落在 之外,此时我们可以写作 
      3.   等长,代表将 点与 点重合之后, 点会与 点重合,此时我们可以写作 
    •   上代表 会通过 
  3. 射线
    • 只有一端可以无限延长的线我们称作射线。
    • 射线具有方向性,但没有长度与宽度。
    • 线段的命名:若 点不可无限延伸,但 点可以,我们将此射线记录成 ,读作“射线 ”或“ 射线”。
      • 注意:不可以纪录为 ,因为这代表 点可以无限延伸,但 点不可。
      • 由此可知 并不等于 
    •   上代表 会通过 

参见:国中数学/国中数学八年级/8-1 角
两射线如果使用相同的起点,则会形成一个,此起点我们称为角的顶点

角的种类
定义
锐角 介于0度到90度的角
直角 等于90度的角
钝角 介于90度到180度的角
平角 等于180度的角
优角 介于180度到360度的角
周角 等于360度的角

角的命名

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  1. 可以直接在角上面标示    、……,并称呼为“ (读作角 )”、“ ”、“ ”、“ ”等等。
  2. 在不会造成混淆的情况下,可以标示出顶点,并利用顶点命名。例如有一个角的顶点为 ,我们称此角为 
  3. 若有可能造成混淆,可以在两射线上各取一点,并以顺时针或逆时针的方式报读角的名字。如右图为 (顺时针)或 (逆时针)[注 1],但不可以称  (即顶点必须在中间)。
  • 下图为一个可能会造成混淆的例子:
 
  • 如果只是说 ,不知道是要表达  还是 
  • 如果要表示最大的那个角,应该要用 来说明比较好。

三角形

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由三个点用线段互相连起来的图形,我们称为三角形。三角形具有 条边、 个角与 个顶点。是中学时期学习最多的形状。

  • 依内角的大小可以将三角形区分成三类:
三角形种类
说明
锐角三角形 三个内角都是锐角
直角三角形 三个内角当中有一个直角
钝角三角形 三个内角当中有一个钝角
  • 其中,依边的长短可以分出特别的两类三角形:
三角形种类
说明
等腰三角形 其中两条边等长
正三角形 三条边都等长

三角形的命名

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三角形的命名如同角的命名,可以顺时针报读或逆时针报读,但它跟角报读方式的不同之处在于三角形可以从任何点开始。如下图,你可以称下面这个三角形为      
但在大部分的情形[注 2]我们会习惯将英文字母按照顺序排列,记作 ,读作“三角形 ”,很少人称作“ 三角形”。

 

多边形

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 个点以上(含),相邻的两点以线段连成一圈的图形,我们称为多边形。

  • 一个 边形有 个顶点、 条边与 个角。
  • 三角形也是一种多边形。
  • 国中阶段会比较著墨在三角形、四边形与正多边形上。
  • 多边形的称呼:从某一个顶点出发,依序以顺时针或逆时针的顺序报读各顶点。一样的,习惯上我们会按照英文字母的顺序报读。
 
此四边形可以称呼它为四边形 或四边形 等等,但不能称呼为四边形 
  • 多边形的对角线:不相邻的两点连成的线,我们称为对角线
     
    图中画出五边形所有的对角线。
    • 补充: 边形的对角线有 个顶点。
  • 若对角线全部都在图形之内,我们称此图形为凸多边形,若有一条对角线的部分会在图形之外,则我们称此图形为凹多边形
    • 在国中数学内,没有特别强调时,谈论的图形都是凸多边形。
 
凸六边形的例子。所有对角线(红色线段)都在图形内。
 
凹五边形的例子。绿色的对角线有部分超出图形之外。

参见:国中数学/国中数学九年级/2-1 点、线、圆
在平面上,与一固定点 距离相同的所有点形成的图形,我们称为,其中“相同的距离”我们称为半径

垂直

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当两直线(或线段)的夹角刚好是直角时,我们称两直线(或线段)垂直,并使用“ ”表示。如下图直线 与直线 垂直,我们可以写作“ ”。

 

垂线

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垂线:一直线与直线 的夹角为直角(两直线互相垂直),则我们称此直线为垂线
1.一条直线 的垂线有无限多条

  • 如下图当中,   都是 的垂线。
  • 当然,只要在画一条直线,其夹角与直线  度的时候,这条直线也会是直线 的垂线。
 

2.过 线上一点作 的垂线只有一条

  • 如上图当中,过 点且与 垂直的直线只有 一条。

3.过 线外一点作 的垂线只有一条

垂足

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两垂直的直线(或线段)所相交的点,我们称为垂足。如上图当中的   三点,分别是直线    的垂足。

平分

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设一线段 ,若点  上且满足 ,则我们称 平分  点也称作  两点的中点

 
垂直平分线

垂直平分线(中垂线)

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 点平分 ,则过 点且与 垂直的直线我们称为 垂直平分线,又称作中垂线

  1. 只有线段才有垂直平分线,直线与射线没有。
  2. 一条线段的垂直平分线只有一条。

线对称图形

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  1. 线对称图形的意义:将一个平面图形沿着某一条直线对折,如果可以使直线两侧的图形完全重叠,则此图形为线对称图形
     
    一些线对称图形,红色直线为对称轴。

  2. 对称轴:在线对称图形中,若沿着直线 对折,直线 两侧的图形完全重叠,则直线 称为线对称图形的对称轴
    • 对应点:沿着对称轴对折,会刚好叠合的点。
    • 对应边:沿着对称轴对折,会刚好叠合的边。
    • 对应角:沿着对称轴对折,会刚好叠合的角。
    • 一个图形的对称轴可能不只一条。
       
      虚线为对称轴。可以注意左上方的正方形有4条对称轴。
      所以要表达对应点、对应边或对应角时,应该要说明“以哪条直线为对称轴,什么的对应什么是什么”。
      • 例如:如下图,以直线 为对称轴,点 的对应点为点  的对应边为  的对应角为 
 
以直线L为对称轴的箭头
  • 注解:
    1. 在线对称图形中,对称轴为两侧对称点连线的垂直平分线
      • 如上图当中,直线  的垂直平分线。
    2. 在线对称图形中,对称线段等长,对称角等大。
      • 如上图当中 的对应边为 ,所以  的对应角为 ,所以 

常见的线对称图形

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  1. 等腰三角形
    • 等腰三角形的定义:有两条边相等的三角形。
    • 一般的等腰三角形只有一条对称轴,此对称轴既是底边的垂直平分线,也会将顶角平分成两个角度相等的角(我们称作角平分线)。
    • 等腰三角形的两个底角相等。
  2. 正三角形
    • 正三角形必定有 条对称轴。
    • 正三角形必然是等腰三角形,但等腰三角形不一定是正三角形。
  3. 长方形
    • 长方形的定义:有四个直角的四边形。
    • 一般的长方形有 条对称轴。
  4. 菱形
    • 菱形的定义:有四边等长的四边形。
    • 一般的菱形有 条对称轴。
  5. 正方形
    • 正方形的定义:四边等长四个角都是直角的四边形。
    • 正方形必定有 条对称轴。
    • 正方形必然是长方形,但长方形不一定是正方形。
    • 正方形必然是菱形,但菱形不一定是正方形。
  6. 筝形
    • 筝形的定义:有两对邻边相等的四边形。
    • 筝形又称作鸢形。
    • 一般的筝形只有一条对称轴。
    • 正方形、菱形必然是筝形,但筝形不一定是正方形或菱形。
  7. 等腰梯形
    • 等腰梯形的意义:一个梯形的两腰等长
    • 等腰梯形只有一条对称轴。
  8. 正多边形
    • 正多边形的对称轴和它的边数一样多。如正七边形有七条对称轴。
  9. 圆形
    • 圆形有无限多条对称轴,任何一条直径都是其对称轴。

常考的"非"线对称图形

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  1. 内角分别是 度的三角形。
  2. 一般的平行四边形。
  3. 一般的梯形。

剪纸与线对称图形

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将一张纸对折,并在折线画图案,剪下来的图形必定以折线作为其对称轴。

方格纸与线对称图形

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其秘诀为:对称点与对称轴的距离相等,利用方格纸上的格子可以测量距离,找出对称点然后再相连即可。

注解

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  1. 数学上常常使用逆时针的命名方式,知名数学软件Geogrbra就是使用逆时针的方式画出角度。
  2. 在全等三角形的地方有时为了对应点的对应关系,所以我们没有按照英文字母顺序排列。